Für jeden Wert von mit ist eine Funktion durch mit gegeben.
a) (2 BE) Einer der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.
b) (3 BE) Für jeden Wert von besitzt der Graph von genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von , für den der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt hat.
Lösung anzeigen
Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters einer ganzrationalen Funktionenschar 3. Grades.
Teilaufgabe 4a
Abbildung 2 zeigt einen Graphen aus der Funktionenschar .
Begründung:
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für wird bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors beim Glied mit dem höchsten Exponenten.
Da ist und es gilt: .
Alternative Begründung ohne Grenzwertbetrachtung:
läßt sich in Linearfaktoren zerlegen:
Beachte die Benutzung der 2. binomischen Formel für .
Für alle Werte mit gilt dann wegen der Vorzeichenreihe der Linearfaktoren, dass .
In Worten: "plus mal plus mal minus mal plus ist minus".
Abbildung 2 ist also passend.
Teilaufgabe 4b
Notwendige Bedingung, dass ein Extremum ergibt: .
Nachweis, dass für tatsächlich ein Extremum ergibt: